Rätsel

Suchen Sie eine Zeitschrift, die regelmäßig professionell und trotzdem verständlich über Neuigkeiten aus Wissenschaft und Technik berichtet? Dann ist "Bild der Wissenschaft" die richtige Zeitschrift für Sie! Ich habe diese monatliche Superschrift schon seit über 40 Jahren im ABO und bin nach wie vor über die Art und Weise begeistert, wie die Autoren der jeweiligen Berichte es regelmäßig schaffen, meine Neugier stets aufs Neue zu wecken.



Die Quadratur der
Schachfiguren



Die Lösung erscheint Anfang September, zusammen
mit einer neuen Aufgabe, auf dieser Seite.
 


Augusträtsel

Die Quadratur der Schachfiguren

ALICE STIEG DURCH den großen Spiegel, der an der Rückwand ihres Zimmers hing. Überrascht stellte sie fest, dass das Glas nicht hart war, sondern wie ein weicher Nebelschleier ihr Gesicht streifte. Hinter dem Spiegel sah die Welt ganz anders aus, als sie sie kannte. Der Boden war ein riesiges Schachbrett, auf dem Schachfiguren, die sie um Haupteslänge überragten, herumsprangen. Sie rannten auf und ab, stolzierten herum oder schlenderten hin und her. „Halt!", rief plötzlich eine Stimme hinter ihr. „Was willst du in meinem Reich?" Langsam drehte sich Alice um. Vor ihr stand die schwarze Königin und sah sie böse an. „Ich, ich ...", stammelte Alice und wusste nicht, was sie sagen sollte. Neugierig kamen die anderen Figuren näher. „Verschwindet!", befahl die Königin, und die Figuren verließen eine nach der anderen das Schachbrett. Währenddessen wurde das Brett blasser und blasser und verschwand schließlich völlig, als der letzte Bauer über seinen Rand trat. Alice rieb sich verwundert die Augen. „Wo ist das Schachbrett geblieben?", fragte sie. „Was bist du doch für ein dummes Kind!", fuhr die schwarze Königin sie an. „Hast du denn nicht in der Schule gelernt, dass das Weltall von der Materie gemacht wird, die sich darin befindet? Nähme man alles aus dem Weltall heraus, so bliebe kein leeres Weltall, sondern nichts übrig. Genauso ist es auch in unserer Welt. Wir machen die Quadrate des Schachbretts. Wenn wir es verlassen, bleibt kein leeres Brett zurück, sondern - wie du gerade gesehen hast - nichts." „Aber...", wollte Alice einwenden. „Schweig und hör mir zu!", herrschte die schwarze Königin sie an. „Ich werde dir nun zeigen, dass wir durch unsere pure Anwesenheit die Quadrate nicht nur geometrisch, sondern auch arithmetisch erzeugen können." Sie wandte sich an den Läufer, der neben ihr stand: „Hole meine Untertanen, damit wir den Kreis bilden können." Der Läufer rannte los, und schon wenige Augenblicke später waren alle Figuren zurück. Sie und auch die schwarze Königin stellten sich nun in einem Kreis auf, in dessen Innerem Alice stand. Alice bemerkte, dass jede Figur eine Zahl auf der Brust trug und fragte die Königin danach. „Wir sind natürlich so nummeriert, wie wir auf dem Schachbrett stehen", erklärte die Königin herablassend. Der linke schwarze Turm ist die Nummer 1. Nummer 2 ist ein schwarzer Springerund Nummer 3 ein schwarzer Läufer. Ich selbst bin die Nummer 4. Mein Gemahl und die anderen schwarzen Offiziere haben die Nummern 5 bis 8. Die schwarzen Bauern haben die Nummern 9 bis 16 und die weißen Bauern 17 bis 24. Die weißen Offiziere schließlich tragen die Nummern 25 bis 32. Wir haben uns nun so aufgestellt, dass wir Quadrate bilden." „Das verstehe ich nicht", sagte Alice. „Schwachkopf!", schimpfte die Königin. „Addiert man die Nummern von zwei direkt nebeneinander stehenden Figuren, erhält man immer eine Quadratzahl." Alice begann leise zu schluchzen und bat die Königin, sie nach Hause gehen zu lassen. „Gut, ich gebe dir eine Chance", sagte die Königin streng. „Schließe die Augen, und sage mir, wer mir in diesem Kreis genau gegenüber steht. Antwortest du richtig, kannst du gehen. Ist deine Antwort aber falsch, so lasse ich dich in den Kerker werfen." Welche Figur musste Alice benennen, um nach Hause zu dürfen?

 

Direktor Talers Garten


Lösung des Julirätsels

Hier noch mal die Aufgabenstellung:

Direktor Talers Garten

GÄRTNERMEISTER BLUME SASS in seinem kleinen Büro hinter dem Gewächshaus und brütete schon seit Stunden über einer Zeichnung, die auf seinem Schreibtisch lag. Plötzlich sprang er auf, lief in den Garten und rief: „Max! Max! Wo steckst du?" Doch sein Lehrling antwortete nicht. Schließlich fand Blume ihn mit Ada, dem Lehrmädchen, auf einer Bank hinter dem Kirschlorbeer sitzen. „Komm sofort mit!", raunzte er ihn an. Als sie im Büro saßen, sagte Blume: „Wir haben doch in der letzten Woche den Rasen im Garten von Direktor Taler neu eingesät. Nun möchte ich ihm eine Rechnung schreiben, aber ich weiß nicht mehr, wie groß die Rasenfläche ist." „Schätzen Sie sie doch einfach großzügig ab, Meister. Der alte Taler schwimmt im Geld, da kommt es doch nicht so genau drauf an", schlug Max vor. „Da kennst du Direktor Taler aber schlecht", erwiderte der Chef. „Wenn ich ihm auch nur einen Quadratzentimeter zu viel in Rechnung stelle, hetzt er mir sofort seine Anwälte auf den Hals, und außerdem bekomme ich nie wieder einen Auftrag von ihm. Schwing dich also auf dein Fahrrad, fahr zu Direktor Talers Villa und miss die Rasenfläche aus." „Moment mal, Meister", sagte Max bedächtig. „Man kann körperliche Arbeit vermeiden, wenn man das Problem durch Nachdenken löst. Wissen Sie nicht noch irgendetwas über die Rasenfläche?" „Tja, lass mich mal überlegen", sagte Meister Blume nachdenklich und kratzte sich am Hinterkopf. „Die Rasenfläche ist ein Trapez mit zwei rechtwinkligen Ecken. Die Größe der anderen beiden Winkel kenne ich nicht. Dafür erinnere ich mich aber noch daran, dass die beiden parallelen Seiten des Rasens 123 und 147 Meter lang sind. Allerdings sind mir die Längen der anderen beiden Seiten völlig entfallen." Der Meister seufzte. „Und dann weiß ich noch ein paar völlig überflüssige Dinge über den Garten. In der Mitte des Rasens wächst eine alte Linde, unter der eine Bank steht. Von der Linde aus führen vier Pfade auf kürzesten Wegen zu den vier Seiten des Rasens. Diese vier Pfade sind alle gleich lang, aber wie lang sie sind, weiß ich nicht mehr." Erneut seufzte er auf. „Ich bin Gärtner und nicht Mathematikprofessor. Wie soll ich die Größe nur herausbekommen?", klagte Blume. „Ach, Meister", gab Max großspurig zurück, „das ist überhaupt kein Problem. Das kann doch jedes Kind im Kopf berechnen." Und dann nannte er eine Zahl. Wissen auch Sie, wie viele Quadratmeter die trapezförmige Rasenfläche (einschließlich der Pfade) in Direktor Talers Garten hat?
 


Lösung:

Die vier Pfade, die zu dem Baum führen, verlaufen senkrecht zu den Seiten des Gartens und unterteilen ihn in zwei Quadrate und zwei Drachenvierecke. Die Drachenvierecke können in je zwei rechtwinklige Dreiecke halbiert werden. In der Skizze wird einer der beiden spitzen Winkel des größeren Dreiecks mit a bezeichnet. Also hat der andere spitze Winkel dieses Dreiecks die Größe (90 Grad - a). Am Baum treffen vier Dreieckswinkel zusammen und ergänzen sich zu 180 Grad. Zwei dieser Winkel haben den Wert (90 Grad - a). Folglich müssen die beiden anderen jeweils die Größe 1/2 (180 Grad - 2(90 Grad - a)) = a besitzen. Das heißt, die kleinen und die großen Dreiecke sind ähnlich. Darum lassen sich die beiden Quadrate und die vier Dreiecke zu einem Rechteck zusammensetzen. Direktor Talers Garten hat also einen Flächeninhalt von 123 • 147 = 18 081 Quadratmetern.